正文（35/36）
數學少女 1
10．7．3『東邊的森林』泰勒展開式
先看『東邊的森林」吧。
『東邊的森林』＝Σ
東邊的森林有n棵樹木，現在要求構成『東邊的森林』的『東邊的樹木』，也就是㏒<以e為底，1/(1-
現在的問題需要評估下面的函數。
『東邊的樹木』＝㏒<以e為底，1/(1-
在思考的同時，令t＝
f(t)＝㏒<以e為底，1/(1-t)>
要研究這個函數f(t)，該怎麼做比較好呢？你說說看，蒂德菈，該怎麼找呢？
◎◎◎
「咦？我……嗎？可是我還不太清楚㏒是什麼……對不起。」
「這裡有不知道的函數f(t)，你看你，蒂德菈，不是『一輩子都不會忘』嗎？」
「啊……泰勒展開式！」
「沒錯。」米爾迦說：「將f(t)以泰勒展開式變回冪級數。」
◎◎◎
將f(t)以泰勒展開式變回冪級數。
由於會用到對數函數的微分以及合成函數的微分，這裡就只寫出結果。
函數f(t)＝㏒<以e為底，1/(1-t)>以泰勒展開式成為下列冪級數。
『東邊的樹木』＝㏒<以e為底，1/(1-t)>
＝t<1次方>/1＋t<平方>/2＋t<立方>/2＋……但是0＜t＜1
(分母中後一項共m項)
在『第一個轉角』時有取對數，所以現在反取回來，回到轉角就能看見家了。
對於『東邊的森林』的觀察就到這裡。
＝Σ
㏒<以e為底，1/(1-
＝Σ
＝Σ
泰勒展開式。
『東邊的森林』＝Σ
㏒<以e為底，1/
10．7．4『西邊的山丘』調和數
終於到高潮的部分了，現在關心的只有n，所以其它煩人的常數通通集合起來命名為K。
㏒<以e為底，P
『東邊的森林』＜Σ
交換和的順序。
和剛才一樣，令t＝/(1－)，就能在0＜＜1時，使0＜t，而且＝t/(1＋t)。
◎◎◎
＝Σ
用了這個就能再繼續往下走。
↓≤
g(<根號6n>/π)＝(<根號6π>/3)×<根號n>
這裡將t還原成k，就可以得到『東邊的樹木』的冪級數展開。
Σ
※※『東邊的森林』的上界
※※『西邊的山丘』的上界
＜Σ
這裡要注意㏒<以e為底，1＋1/t>，令u＝1/t，然後調查當u＞0時，㏒<以e為底，(1＋u)>的情形，這和調查調和數(Harmoniumber)時十分類似，先畫出和緩的『西邊的山丘』。
＝n㏒<以e為底，(1＋t)/t>將以t表示
10．7．5旅途的終點
『東邊的森林』＜Σ
解方程式g』(t)＝0，得到t＝±(<根號6n>/π)，所以在t＞0的範圍內得到以下的增減表。
用比較容易懂的圖表示就會像下面的圖表，解出方程式g』(t)＝0是為了要找出圖中水平切點的位置。
[插圖：平面直角坐標系u-y，1/1+u，過(0,1)向右畫直線，任取直線上一點作u軸射影構成長方形。長方形的面積為u，曲線與射影線與u-y軸所成的圖形面積為㏒……（內容加載失敗！請重載或更換瀏覽器）